2.3.6FUNCION LOGARITMICA

• Logaritmo
  En matemáticas, el logaritmo es la función inversa de la potenciación y, por lo tanto, expresa cuántas veces un número x debe ser dividido por la base b para obtener 1. De esta forma, el logaritmo de x con base b es el exponente o potencia a la que la base se ha de elevar para dar un número determinado. Para la ecuación bn = x, el logaritmo es la función que obtiene n. Esta función es escrita como n = logb x.
  Por ejemplo:
  El logaritmo es una de tres funciones relacionadas entre sí: en bn = x, b puede ser encontrado con radicales, n con logaritmos y x con exponenciación. Se denomina logaritmo neperiano o logaritmo natural (ln) al logaritmo en base e de un número.
  Definición. Sea a un real positivo fijo, y sea x cualquier real positivo, entonces:
  La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base ,
  denotada por ,se llama: función logarítmica de base a, y, el número se llama logaritmo de x en la base a.
  La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que :el logaritmo de un número, en una base dada ,es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.
  En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los logaritmos.
  Teorema ( Propiedades de los logarítmos )
  Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces :
  Cuando a > 1 , si 0 <> 1 es estrictamente creciente en su dominio.
  Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y ,entonces, .Esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio.
  Para todo número real , existe un único número real tal que . Esta propiedad indica que la función logarítmica es sobreyectiva .
  Si , y, a != 0 , entonces, . (Invarianza)
  Demostración.
  Para demostrar las propiedades de los logaritmos, se hace uso de la definición y de las propiedades de la función exponencial, presentadas en la sección anterior.
  A manera de ilustración , se demuestran las propiedades 1,4 y 7. Se dejan las restantes como ejercicio para el lector.
  Sea .De acuerdo a la definición de logaritmo y de la propiedad 9 del teorema 3 ,se tiene :
  .
  Esto es , ( 1 )
  En segundo lugar , nuevamente por la definición , . 0
  Es decir , ( 2 ).
  De ( 1 ) y ( 2 ), se concluye que .
  Sea y , entonces :
  ( 1 ).
  ( 2 ).
  De ( 1 ) y ( 2 ), se sigue que : .
  Es decir , .
  Se supone que a > 1 y 0< x < y. Sean : y .Se prueba que
  .
  En efecto ,si ,y como a > 1 ,se tendría por la propiedad del teorema que , es decir , en contradicción con la hipótesis.
  Análogamente, se razona para el caso 0 <>