2.3.9FUNCIOPN IMPLICITA

• Función implícita
  Es función implícita la que no se puede despejar la variable independiente de la variable dependiente.
  Un ejemplo de una función implícita seria:
  y^3 + y^2 + 5xy + x^2 + x + y = 0 \,
  En la cual no es posible expresar una de las variables en términos de la otra.
  [editar] Diferenciación
  Para poder derivar una función implícita se usa la regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez esta en función de la variable independiente:
  Dada una función F(x,y) \,, implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: \frac{dy}{dx} = f’(x).
  Si consideramos y = f \left ( x \right ) es una función en términos de la variable independiente x y G \left ( y \right ) es una función en términos de la variable dependiente y, dado que y = f \left ( x \right ), entonces para obtener la derivada:
  D_x \left ( G \left ( y \right ) \right ) = D_x \left ( G \left ( f \left ( x \right ) \right ) \right ) = G’ \left ( x \right ) \left ( f’ \left ( x \right ) \right )
  
  
  

2.3.8FUNCION INVERSA

• Función recíproca
  Sea f una función real biyectiva, cuyo dominio (conjunto de definición) es I y cuyo conjunto imagen es J = f(I). Por ser biyectiva, f admite una función recíproca o inversa, denotada f −1.
  Definición: g es la función recíproca de f si para todo x en I, f(x) = y equivale a g(y) = x.
  Como consecuencia, g tiene como dominio J, y como conjunto imagen I : g(J) = I. Por simetría de la relación, resulta que si g es la recíproca de
  f entonces f es la recíproca de g.
  imagen:Función_recíproca.png
  En el ejemplo, I = [ −6; 2 ] y J = [ −6 ; 6 ].
  [editar] Propiedades
  [editar] Propiedades analíticas
  * Al componer f con g, se obtiene la función identidad: f \circ g=id_j, y g \circ f = id_i. Es otra definición posible
  de la función recíproca, y se suele representar por el esquema siguiente:
  imagen:Función_reciproca_esquema.png
  * f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es
  posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si es irracional, f(x) = -x. En este caso muy particular g = f.
  * Además, en tal caso f y g son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).
  * f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.
  * Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces g’(y)· f’(x) = 1. La derivada de g se
  obtiene así fácilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final).
  [editar] Propiedades geométricas
  * Los codos que representan f y g son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir la recta Δ: y = x.
  En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M’(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M’ pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.
  * Las tangentes en M y M’ tienen pendientes (coeficientes directores) inversos.Es un efecto
  de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g’(y)· f ‘(x) = 1.
  

2.3.7FUNCION DEFINIDA PARTE POR PARTE

• 
  Función parte entera
  La función parte entera f: R \rarr Z / f(x) = [x] = ent(x) está definida por:
  1. La función piso si es el menor número de los dos números enteros entre los que está comprendido x. De esta forma, si x es un número entero, su parte entera es el mismo entero. Si x = 5/2 entonces su parte entera será 2.
  2. La función techo si es el mayor número de los dos números enteros entre los que está comprendido x.
  Siempre se tiene que
  \lfloor x\rfloor \le x < \lfloor x + 1 \rfloor
  y a la izquierda hay una igualdad si y sólo si x es entero. Para todo entero k y para todo número real x se tiene:
  \lfloor k+x \rfloor = k + \lfloor x\rfloor
  El redondeo usual del número x al entero más próximo se puede expresar como la parte entera de x + 0,5.
  La derivada de la función parte entera no está definida en los números enteros, y en cualquier otro punto vale 0.

2.3.6FUNCION LOGARITMICA

• Logaritmo
  En matemáticas, el logaritmo es la función inversa de la potenciación y, por lo tanto, expresa cuántas veces un número x debe ser dividido por la base b para obtener 1. De esta forma, el logaritmo de x con base b es el exponente o potencia a la que la base se ha de elevar para dar un número determinado. Para la ecuación bn = x, el logaritmo es la función que obtiene n. Esta función es escrita como n = logb x.
  Por ejemplo:
  El logaritmo es una de tres funciones relacionadas entre sí: en bn = x, b puede ser encontrado con radicales, n con logaritmos y x con exponenciación. Se denomina logaritmo neperiano o logaritmo natural (ln) al logaritmo en base e de un número.
  Definición. Sea a un real positivo fijo, y sea x cualquier real positivo, entonces:
  La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base ,
  denotada por ,se llama: función logarítmica de base a, y, el número se llama logaritmo de x en la base a.
  La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que :el logaritmo de un número, en una base dada ,es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.
  En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los logaritmos.
  Teorema ( Propiedades de los logarítmos )
  Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces :
  Cuando a > 1 , si 0 <> 1 es estrictamente creciente en su dominio.
  Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y ,entonces, .Esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio.
  Para todo número real , existe un único número real tal que . Esta propiedad indica que la función logarítmica es sobreyectiva .
  Si , y, a != 0 , entonces, . (Invarianza)
  Demostración.
  Para demostrar las propiedades de los logaritmos, se hace uso de la definición y de las propiedades de la función exponencial, presentadas en la sección anterior.
  A manera de ilustración , se demuestran las propiedades 1,4 y 7. Se dejan las restantes como ejercicio para el lector.
  Sea .De acuerdo a la definición de logaritmo y de la propiedad 9 del teorema 3 ,se tiene :
  .
  Esto es , ( 1 )
  En segundo lugar , nuevamente por la definición , . 0
  Es decir , ( 2 ).
  De ( 1 ) y ( 2 ), se concluye que .
  Sea y , entonces :
  ( 1 ).
  ( 2 ).
  De ( 1 ) y ( 2 ), se sigue que : .
  Es decir , .
  Se supone que a > 1 y 0< x < y. Sean : y .Se prueba que
  .
  En efecto ,si ,y como a > 1 ,se tendría por la propiedad del teorema que , es decir , en contradicción con la hipótesis.
  Análogamente, se razona para el caso 0 <>

2.3.5FUNCION EXPONENCIAL

• 
  Función exponencial
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  En términos generales, una función es exponencial si se expresa de la forma
  F(x)=K \cdot a^x
  siendo a y k reales.
  La expresión función exponencial se reserva para la inversa de la función logaritmo natural o, dicho en otros términos, para el caso en que a = e. Con esa definición, su dominio es R, pero se puede ampliar al cuerpo de los complejos.
  Esta función se nota exp: R → R+*
  x \mapsto e^x = \exp(x)
  donde e es la base de los logaritmos naturales.
  y = exp x <=> x = ln y (con y >0)
  La tangente en x = 1, T1, pasa por el origen. La tangente en x = 0, T0, pasa por el punto (−1, 0).
  Tabla de contenidos [ocultar]
  * 1 Propiedades
  * 2 Derivada
  * 3 Definición formal
  * 4 Enlaces externos
  [editar] Propiedades
  Funciones exponenciales para a = e (rojo), a = 10 )verde) y a = 1,7 (violeta). Funciones exponenciales para a = e (rojo), a = 10 )verde) y a = 1,7 (violeta).
  Todas sus propiedades provienen de las propiedades del logaritmo. Llamamos (función) exponencial la función definida sobre los reales por x →ex.
  * La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.
  * La exponencial transforma una suma en una constante
  e^{a+b} = e^a \cdot e^b
  * e^{-a} = {1 \over e^a}
  * e^{a - b} = {e^a \over e^b}
  * su límite en - ∞ es 0, y en + ∞ es + ∞
  * La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, y satisface la sorprendente relación:
  e^{i \cdot t} = \cos t + i \cdot \mbox{sen } t.
  Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler, conocida también como la fórmula más importante del mundo. Más generalmente:
  e^{a+bi} = e^ā\cdot(\cos b + i \mbox{sen } b)
  Tenemos entonces de los gráficos que si a > 1 la curva será creciente.
  

2.3.4FUNCION TRIGONOMETRICA

• 
  La trigonometría (del griego, la medición de los triángulos) es una rama de las matemáticas que estudia los ángulos, triángulos y las relaciones entre ellos (funciones trigonométricas).
  Posee muchas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en geografía para medir distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
  

2.3.3FUNCION RAIZ

• Es una función que se expresa utilizando un radial o un exponente fraccionario.
  Veamos el caso de las funciones irracionales
  Como la raíz cuadrada de números negativos no tiene solución real, el dominio de f es el conjunto de todos los números reales “x” que no convierten el radicando en números negativos, es decir que , p(x) > o

2.3.2FUNCION RACIONAL

• Función racional
  Las funciones racionales son funciones obtenidas al dividir un polinomio por otro polinomio no idénticamente nulo. Para una única variable x una función racional se puede escribir como: P(x)/Q(x)
  donde P y Q son polinomios y x es una variable indeterminada siendo Q un polinomio no nulo. Existe la posibilidad de encontrar valores de x tales que Q(x) sea nulo. Por este motivo las funciones racionales están definidas en todos los números que no anulan el polinomio denominador, es decir, en el cuerpo de coeficientes menos una cantidad finita, que será igual al número de raíces reales del polinomio denominador. Una función racional está definida en todo el cuerpo de coeficientes si el polinomio denominador no tiene raíces reales.
  Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas.

2.3.1FUNCION POLINOMIAL

El dominio de la función polinomial es el conjunto de los números reales.
Ejemplos particulares de la función polinomial son, la función lineal (función polinomial de grado uno), la función cuadrática (función polinomial de segundo grado), función cúbica (función polinomial de tercer grado).

2.3CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES POR SU NATURALEZA ALGEBRAICAS Y TRASCEDENTES

• FUNCIONES ALGEBRAICAS
  Las funciones algebraicas son aquellas que se obtienen alrealizar un numero finito de adiciones,sustracciones ,multiplicaciones divisiones y rdiaciones con las funciones constante e identidad.
  Algunas funciones algebraicas pueden ser ;
  a) f(x) =+ Ö x-1
  b) f(x) = x-2
  4+x
  FUNCIONES TRASCENDENTES
  Cuando la variable independiente figura como exponente o como índice, o se
  halla afectada del signo logarítmico o de cualquiera de las que emplea la trigonometría.
  He aquí las principales funciones trascendentes:
  Exponenciales: y = ax, y = ex
  • Logarítmicas y = logax, y = lnx
  • Circulares o trigonométricas
  1. Directas
  y = senx
  y = cosx
  y = tg x
  2. Inversas
  y = arc sen x
  y = arc cos x
  y = arctgx

2.2REPRESENTACIONES DE FUNCIONES.

Representación gráfica de funciones Se llama estudiar una función al conjunto de las tareas encaminadas a determinar los elementos que definen su comportamiento para los diferentes intervalos de valores de su dominio. Crecimiento, concavidad, tendencias asintóticas y otras informaciones relacionadas sirven de ayuda para conocer la conducta de las funciones matemáticas y extraer datos de optimización relevantes para los problemas prácticos. Estudio de una función Para estudiar el comportamiento de una función, se aplica un procedimiento sistemático que comprende los puntos siguientes:
Determinación de su dominio de definición (ver t45). Búsqueda de simetrías y periodicidades (ver t45). Fijación de los puntos de corte con los ejes (ver t45). Cálculo de las asíntotas. Tendencias de crecimiento y decrecimiento, con determinación de los máximos y los mínimos relativos (ver t45). Concavidad, convexidad y puntos de inflexión (ver t45). Análisis del comportamiento de la función en las distintas regiones del plano. Representación gráfica. Asíntotas de una función Después de determinar el dominio de definición, las simetrías y periodicidades y los puntos de corte con los ejes, el estudio de la función prosigue con la búsqueda de asíntotas, definidas como las rectas a las que tiende la función en el infinito.
Una función tiene como asíntota horizontal la recta de ecuación y = b si cuando x tiende a +¥ o -¥ la función tiene al menos un límite lateral cuyo valor es b. La función tiene como asíntota vertical la recta de ecuación x = a cuando en dicho punto existe al menos uno de los límites laterales y su valor es +¥ o -¥. Para que la función tenga como asíntota oblicua una recta de ecuación y = mx + n, siendo m ¹ 0, tiene que existir alguno de los dos límites siguientes, y ser nulo:
Los valores de la pendiente m y la ordenada en el origen n se determinan como:
Tendencias, concavidad y puntos singulares Después de fijar el valor de las asíntotas, se procede a establecer las tendencias de crecimiento y decrecimiento de la función.

2.1DEFINICION DE FUNCIONES.

Una funcion es un tipo especial
de relacion entre elementos de dos conjuntos. Un conjunto inicial llamado
Dominio y un conjunto Final llamado Imagen, una funcion asigna a cada elemento
del dominio un elemento de la Imagen
Para que una relacion sea funcion se
deben cumplir dos condiciones
Una función es una relación entre dos
variables numéricas, habitualmente las denominamos x e y; a una de ellas la
llamamos variable dependiente pues depende de los valores de la otra para su
valor, suele ser la y; a la otra por tanto se la denomina variable independiente
y suele ser la x.

Expresion explicita de una
funcion
La forma mas usual para definir una funcion escalar (funciones
escalares son aquellas en las que los conjuntos dominio e imagen sos conjuntos
de numeros reales), es definiendo primero el nombre de la funcion, despues los
conjuntos dominio e imagen y luego dando la expresion explicita de la funcion,
en la que se muestra la relacion entre los elementos x (del dominio) e Y (de la
imagen). por ejemplo
f:R→R / f(x)=x + 2
Esto nos dice que la funcion se
llama f, que su dominio son los reales, su imagen los reales, y su expresion es
y=x+2, (hay que recordar que y=f(X)), entonces supongamos que elegimos un valor
x al azar del dominio x=2, su correspondiente valor de imagen es y=2+2=
4

2.FUNCIONES.

Una función ƒ de X a Y es una relación R de X a Y tal que
para cada ƒ(x) existe un solo elemento y ϵ Y.Finalmente:
<> ϵ
ƒ
“La función ƒ es una relación de X a Y”.
ƒ(x) = y
“ƒ mapea de X a
Y”.
ƒ: X → Y
“ƒ transforma X en Y”,donde: X es el dominio y Y es la
imagen.
Existe una correspondencia uno-a-uno en ƒ(x)=y, cuando para toda xϵ X
existe una yϵ Y , y viceversa. Por lo que X y Y tienen el mismo número de
elementos, i.e. cardinalidad.
Función Inversa: Toda función con
correspondencia uno-a-uno posee una función inversa,ƒ1(y) = x si y solo si ƒ(x)
= y

1.5VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES.

Definición. Valor absoluto. El valor absoluto de un número real x se representa por x

El valor absoluto es muy importante en cálculo porque nos ayuda a representar desigualdades y conjuntos de números, uno de los principales usos es el poder formalizar el concepto de límite.

TEOREMA:

1.- ab=ab

2.- \\ ab\=\ ab

3.- a+b=a+b

4.- x

5.- x>a\hspace{10{⇔\hspace{10{−a>x\hspace{5{o\hspace{5{x>a

Ejemplo Resolver la ecuación 5x+1 = 4
Solución.
5x+1 = 4 ó 5x+1 = −4, por lo que
x = 1 ó x = −3/5, una sustitución directa nos indica que el conjunto solución es S = {−3/5, 1}.
Es conveniente enunciar en este punto las principales propiedades de valor absoluto, sobretodo porque serán muy útiles para la solución de desigualdades
Teorema Propiedades de valor absoluto (i) x › 0 (ii) x = 0 <=› x=0 (iii) ab = a b (iv) a/b = a/b (v) a+b ‹ a + b (vi) x <> ?a>x o x > a
Ejemplo Resolver 2x-1 < 7
Solución.
Vemos que 2x-1 < 7 es equivalente a
−7 < 2x-1 < 7, y también a
−6 < 2x < 8
−3 <>

1.4DESIGUALDADES LINEALES,CUADRATICAS Y SUS PROPIEDADES.

DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

Una desigualdad en la variable x se llama cuadrática cuando la podemos escribir en la forma ax2+bx+c>0 ( ), en donde a,b y c son constantes con a .
Para resolver esta desigualdad, es decir encontrar las x´s que satisfacen esta desigualdad, escribimos el lado izquierdo como el producto de dos expresiones lineales, esto es, factorizamos y examinamos el signo de los factores en los intervalos definidos por las raíces de los factores. Observe que resolver

(x-... )(x-...)>0

lo podemos interpretar para que valores de x este producto es estrictamente positivo.

Pasos a seguir para resolver desigualdades cuadráticas

1.- Escribir la desigualdad en su forma canónica: ax2+bx+c>0 (<0; ó ).

2.- Factorizar el lado izquierdo. En caso que no se pueda la solución es trivial: R o .

3.- Colocar las raíces de los factores en la recta real.

4.- Colocar dos pares de paréntesis encima de cada intervalo establecido por las raíces.

5.- Tomar valores de prueba, evaluar los factores en los valores de prueba y colocar el signo resultante en el paréntesis respectivo del factor.
6.- Debajo de cada intervalo definido por los factores colocar un par de paréntesis, realizar la multiplicación de signo de arriba y colocar el resultado en el paréntesis de abajo.
7.- Responder la pregunta. Por ejemplo si la desigualdad es <0,>

1.3INTERPRETACION GEOMETRICA DE LOS NUMEROS REALES.

Una manera de representar
geométricamente los números reales, consiste en tomar una recta generalmente en
forma horizontal, y fijar dos puntos distintos en ella, denotando con 0 (cero)
al de la izquierda y con 1 (uno) al de la derecha.
Se
considera que cada punto de la recta corresponde a un número real y viceversa, a
cada número real le corresponde uno y solo un punto de dicha recta. Se establece
de esta forma, una correspondencia biunívoca entre los números reales y los
puntos de esta recta, la cual nos permite decir en adelante que cada punto "es"
un número real. A la recta sobre la cual se hace representaciones de los números
reales, se seguirá llamando: RECTA REAL, ó, también, RECTA NUMÉRICA.

Recurriendo a la idea de distancia y tomando como unidad de
longitud el segmento de recta entre 0 y 1, que en adelante se llamará segmento
unitario; como punto de partida el 0, que en adelante se llamará origen; como
números positivos los puntos que se dan a la derecha del origen y negativos, los
que se dan a su izquierda, se puede entonces localizar algunos números reales.
Así, para localizar los números enteros, se lleva sucesivamente, y a ambos lados
de 0 y 1, el segmento unitario como aparecen en la figura
adjunta.

Existe una
construcción geométrica sencilla para localizar números racionales en la recta
real. Ilustremos el procedimiento por medio de un ejemplo. Para representar,
digamos el número racional 12/5, se traza por el origen 0 de la recta real una
segunda recta oblicua y a partir de 0 se marcan cinco (5) segmentos iguales
sobre la oblicua con extremos en P1, P2, P3, P4 y P5.
A
continuación, se traza la recta que une a P5 con el racional y luego
cuatro rectas paralelas a la anterior y que pasen por los puntos P1, P2, P3,
P4 y P5. Por geometría elemental se sabe que este sistema de rectas
paralelas corta al segmento entre 0 y 3 en cinco partes iguales de manera que la
longitud de cada parte es 3/5.
En consecuencia, cada punto de corte en la
recta real corresponde en forma sucesiva a los racionales: 3/5, 6/5, 9/5, 12/5 y
15/5 entre los cuales se encuentra el racional que se quería representar en la
recta.

1.2 PROPIEDADES NUMEROS REALES.

La siguiente es una lista con seis propiedades básicas, las cuales bastan para caracterizar completamente las propiedades algebraicas de campo de los números reales. Esto es, de aquí se

pueden deducir las demás propiedades.
Los números reales son un conjunto R
con dos operaciones binarias + y . el cual satisface los siguientes
axiomas.
1 Cerradura.Si a y b están en R entonces a+b y a.b son
números determinados en forma única que están también en R.
2
Propiedad Conmutativa (Suma y Multiplicación).Si a y b están en R entonces a+b =
b+a y a.b = b.a.
3 Propiedad Asociativa. (Suma y Multiplicación)Si a,
b y c están en R entonces a+(b+c) = (a+b)+c y a.(b.c) = (a.b).c.
4 Propiedad
Distributiva.Si a, b y c están en R entonces a.(b+c) = ab+ac.
5
Existencia de Elementos neutros.R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que
a+0 = a, a.1 = a para a que pertenece a los reales.
6 Elementos
inversos. Si a está en R entonces existe un (-a) en R tal que a + (-a) = 0 Si a
está en R y a diferente de 0 entonces existe un elemento 1/a en R tal que a.1/a
= 1.

1.1CLASIFICACION DE LOS NUMEROS REALES.

N - NÚMEROS NATURALES
Un número natural es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3... que se pueden usar para contar elementos o cosas
Z - NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros son del tipo: -59, -3, 0, 1, 5, 78, 34567, etc., es decir, LOS NATURALES Y sus opuestos (negativos).
Q - NÚMEROS RACIONALES
número racional es todo aquel número que puede ser expresado como resultado de la división de dos números enteros. Comunmente es a lo que se les llama numeros decimales, tanto en fracción como expresado con comas.

NUMEROS REALES.

Existen varias formas de abordar los números reales, la más
conocida y natural es la que propuso el matemático Giuseppe Peano(1958–1932) y
consiste en caracterizar los números naturales o enteros positivo N = {1,2,3,…}
por medio de cinco axiomas, llamados precisamente los axiomas de PFinalmente, el
objetivo principal que se pretende en este capítulo es, aparte de dar una
caracterización completa de los números reales, la de presentar un proceso
sistematizado de argumentacióneano y construyendo los demás: enteros negativos,
fracciones e irracionales a partir de ellos.

MATEMATICAS 1

Objetivo: