2.4.3FUNCION SIMETRICA.

FUNCIONES SIMETRICAS Funciones pares
Una función f(x) es par
cuando cumple f(x) = f(-x).
Es decir, las imágenes de valores opuestos
coinciden.
f(2) = f(−2), f(3) = f(−3), f(1/3) = f(−1/3),..
Por coincidir
las imágenes de valores opuestos, la gráfica de una función par es simétrica
respecto del eje Y. Funciones impares
Una función f(x) es impar si cumple
f(-x) = - f(x).
A valores opuestos de x corresponden imágenes opuestas. (La
imagen de 2 es la opuesta de la imagen de −2; la imagen de −1 es la opuesta de
la imagen de 1…).
Por corresponder a valores opuestos de x, imágenes
opuestas, la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de
coordenadas. Ejercicio: ejemplos de funciones pares e impares
Indicar cuáles
de estas funciones son pares:
f(x) = x ; g(x) = 3.x + 2; k(x) = x
Resolución: f(x) = x
f(-x) = (-x) = x
Þ f(x) = f(-x)
La función
f(x) es par. g(x) = 3.x + 2 g(-x) = 3.(-x) + 2 = −3.x + 2 Þ g(x) ≠ g(-x)
La
función g(x) no es par. k(x) = x k(-x) = -x = x Þ k(x) = k(-x)
k(x) =
x es una función par.
¿Cuáles de estas funciones son impares?:
f(x) =
x; g(x) = x³; h(x) = x + 1
Resolución: -f(x) = -x f(-x) = (-x) = -x Þ f(-x)
= -f(x)
Esta función es impar. -g(x) = -x³ g(-x) = (-x)³ = -x³ Þ g(-x) =
-g(x)
Esta función es impar. -h(x) = -(x + 1) = -x - 1 h(-x) = (-x) + 1 = -x
+ 1 Þ h(-x) ≠ -h(x)
h(x) no es una función impar.

2.4.2FUNCION PAR E IMPAR.

Funciones pares
Se dice que una función f es par cuando para
cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=f(x).
Modifica los valores
de x en la escena y observa lo que sucede con los valores de f(x) y de f(-x).
Al modificar los valores de x en la gráfica, la escena muestra también los
valores de -x, de f(x) y de f(-x). Como has podido notar, la gráfica es
simétrica con respecto al eje y, puesto que para todo valor x del dominio de la
función se verifica que f(x)=f(-x).
Funciones impares
Se dice que una
función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que
f(-x)=-f(x). Modifica los valores de x en la escena y observa qué sucede con los
valores de f(x) y de f(-x).
Al ir modificando los valores de x la gráfica
muestra también los valores de -x, de f(x) y de f(-x). Observa que para
cualquier valor del dominio, f(x)=-f(x). Habrás notado además que el segmento
que une los puntos P1 y P siempre pasa siempre por el origen, punto del cual
equidistan.
Todas estas funciones simétricas con respecto al origen de
coordenadas, en las que se verifica que f(x)=-f(x), se denominan funciones
impares.

2.4.1FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE

FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE
Una función ƒ es creciente en
un intervalo para cualquier par de números X1, X2 del intervalo X1< X2
implica ƒ(X1) < ƒ (X2).
Una función ƒ es decreciente en un intervalo si
para cualquier par de números X1, X2 del intervalo X1<>
ƒ (X2).
Nota: Una función es estrictamente monótona en un intervalo si es
creciente o decreciente en todo el intervalo. Por ejemplo f(x)=x³ es
estrictamente monótona en toda la recta real, ya que es constante en el
intervalo [0,1].

2.4CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES POR SUS PROPIEDADES.

• la clasificacion de funciones por sus propiedades esta
  clasificada de la siguiente manera.
  funcion creciente y decreciente.
  funcion par e impar.
  funcion simetrica.
  funcion periodica.

2.3.9FUNCIOPN IMPLICITA

• Función implícita
  Es función implícita la que no se puede despejar la variable independiente de la variable dependiente.
  Un ejemplo de una función implícita seria:
  y^3 + y^2 + 5xy + x^2 + x + y = 0 \,
  En la cual no es posible expresar una de las variables en términos de la otra.
  [editar] Diferenciación
  Para poder derivar una función implícita se usa la regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez esta en función de la variable independiente:
  Dada una función F(x,y) \,, implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: \frac{dy}{dx} = f’(x).
  Si consideramos y = f \left ( x \right ) es una función en términos de la variable independiente x y G \left ( y \right ) es una función en términos de la variable dependiente y, dado que y = f \left ( x \right ), entonces para obtener la derivada:
  D_x \left ( G \left ( y \right ) \right ) = D_x \left ( G \left ( f \left ( x \right ) \right ) \right ) = G’ \left ( x \right ) \left ( f’ \left ( x \right ) \right )
  
  
  

2.3.8FUNCION INVERSA

• Función recíproca
  Sea f una función real biyectiva, cuyo dominio (conjunto de definición) es I y cuyo conjunto imagen es J = f(I). Por ser biyectiva, f admite una función recíproca o inversa, denotada f −1.
  Definición: g es la función recíproca de f si para todo x en I, f(x) = y equivale a g(y) = x.
  Como consecuencia, g tiene como dominio J, y como conjunto imagen I : g(J) = I. Por simetría de la relación, resulta que si g es la recíproca de
  f entonces f es la recíproca de g.
  imagen:Función_recíproca.png
  En el ejemplo, I = [ −6; 2 ] y J = [ −6 ; 6 ].
  [editar] Propiedades
  [editar] Propiedades analíticas
  * Al componer f con g, se obtiene la función identidad: f \circ g=id_j, y g \circ f = id_i. Es otra definición posible
  de la función recíproca, y se suele representar por el esquema siguiente:
  imagen:Función_reciproca_esquema.png
  * f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es
  posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si es irracional, f(x) = -x. En este caso muy particular g = f.
  * Además, en tal caso f y g son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).
  * f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.
  * Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces g’(y)· f’(x) = 1. La derivada de g se
  obtiene así fácilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final).
  [editar] Propiedades geométricas
  * Los codos que representan f y g son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir la recta Δ: y = x.
  En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M’(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M’ pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.
  * Las tangentes en M y M’ tienen pendientes (coeficientes directores) inversos.Es un efecto
  de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g’(y)· f ‘(x) = 1.
  

2.3.7FUNCION DEFINIDA PARTE POR PARTE

• 
  Función parte entera
  La función parte entera f: R \rarr Z / f(x) = [x] = ent(x) está definida por:
  1. La función piso si es el menor número de los dos números enteros entre los que está comprendido x. De esta forma, si x es un número entero, su parte entera es el mismo entero. Si x = 5/2 entonces su parte entera será 2.
  2. La función techo si es el mayor número de los dos números enteros entre los que está comprendido x.
  Siempre se tiene que
  \lfloor x\rfloor \le x < \lfloor x + 1 \rfloor
  y a la izquierda hay una igualdad si y sólo si x es entero. Para todo entero k y para todo número real x se tiene:
  \lfloor k+x \rfloor = k + \lfloor x\rfloor
  El redondeo usual del número x al entero más próximo se puede expresar como la parte entera de x + 0,5.
  La derivada de la función parte entera no está definida en los números enteros, y en cualquier otro punto vale 0.